在 Young-Laplace 理論方程的基礎上，Bashforth 和 Adams 通過進一步推導得到了懸滴法和躺滴法的表面張力測量工作方程，懸滴法的測量工作方程主要基于兩個基本假設：1) 懸垂液滴在重力和表面張力的共同作用下處于平衡狀態；2) 懸垂液滴的形狀呈現完美的中心軸對稱。對處于平衡狀態的真實懸垂液滴，通過圖像處理軟件精準提取液滴的外形輪廓，以液滴頂點為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖 1 所示，則液滴輪廓 d 點應滿足的關系式為：

?p? = ?p_d + ?ρgz (2)

?p? = 2γk? (3)

?p_d = γ(k_L + k_d) (4)

式中，?p? 為參考點 O 處的液滴分界面處的內外壓力差；?p_d 為液滴表面 d 點處的液滴分界面處的內外壓力差；?ρ 為氣液兩相的密度差；g 為當地重力加速度，取值為 9.7967 m·s?2；k?、k_L 和 k_d 分別為參考點 O 處的曲率、d 點在 Z ? X 坐標平面的曲率以及 d 點在 Z ? X 正交平面的曲率，其值分別為 k? = 1/R?，k_L = dφ/ds 和 k_d = sinφ/x。

聯立式(2)～(4)，化簡可得懸滴法的測量工作方程為：

dφ/ds = (2/R?) ? (sin φ)/x ? (?ρgz)/γ (5)

對式(5)進行無量綱化處理，即 S = s/R?，X = x/R? 和 Z = z/R?，并引入液滴形狀因子 β = ?ρgR?2/γ，則式(5)可化簡為：

dφ/dS = 2 ? βZ ? sin φ / X (6)

通過圖像處理軟件在液滴表面進行離散化取點，并采用非線性優化算法對上式進行精確的數據擬合，即可得到形狀因子，從而根據氣液兩相密度差和頂點處的曲率半徑獲得該狀態下的表面張力。

γ = (?ρgR?2) / β (7)

圖 1 真實液滴的外形輪廓示意圖

1.2 實驗系統

本文所搭建的懸滴法表面張力實驗系統的溫度和壓力適用范圍為 223.15 ～ 373.15 K 和 0 ～ 15 MPa。實驗系統示意圖如圖 2 所示，其主要包括實驗裝置本體、恒溫槽、溫度控制與測量系統、氣體增壓與壓力測量系統、液滴控制系統、真空系統、圖像采集和數據處理系統。

實驗系統采用本體纏繞換熱銅管且外接恒溫槽的方式，通過恒溫槽進行溫度的精準控制，并在盤管與本體周圍填充銅粉來增強實驗裝置的溫度均勻性，待溫度穩定后由 PT-100 高精度鉑電阻溫度傳感器和精密測溫儀獲得實驗裝置的內部溫度，其溫度測量的不確定度優于 30 mK。為了避免低溫環境中水蒸氣在觀察窗口處凝結而影響液滴圖像的采集，本文設計了一種雙夾層結構，并在中間區域密封了高純氮氣，從而避免了觀察窗暴露在空氣中的弊端。實驗腔體內通過充氣管路連接高壓氣瓶或充樣罐進行增壓，其壓力大小可使用閥門和壓力傳感器進行控制，壓力測量的不確定小于 20 kPa。

使用微量流體精準控制系統形成穩定的懸垂液滴，該系統主要由微單片機控制器、電機激勵器、異步電機、星型減速機、剛性聯軸器、螺紋增壓泵和鋁型固定件組成。通過使用較小內徑的毛細管和異步電機轉速的精準調控，可以實現在高壓條件下穩定液滴的控制需求。經標定的毛細管外徑為 1.6505 mm，不確定度為 0.0011 mm。同時，由數字相機、工業鏡頭、LED 背光源和 LED 光源控制器四部分組成了圖像采集系統，結合寧波海曙邁時檢測科技有限公司提供的 DropMeter V1.20 軟件完成數據處理。圖 3 為該軟件的數據處理界面 DropMeter V1.20，該軟件可讀取液滴視頻和圖片文件，并能根據 Canny 算子自動檢測待測液滴的基準線和外形輪廓線，通過最小二乘法實現外形輪廓的擬合和表面張力的計算，根據統計學原理給出表面張力的計算誤差。懸垂液滴輪廓在通過圖像分析軟件進行擬合得到形狀因子和頂點曲率半徑時，會存在輪廓曲線擬合誤差，根據 DropMeter V1.20 軟件說明書可知，由軟件擬合確定形狀因子和頂點曲率半徑所引入的相對不確定度分別為 0.05% 和 0.005%。

圖 2 懸滴表面張力實驗裝置系統示意圖

圖 3 DropMeter V1.20 軟件數據處理界面

考慮氣液密度差、圖像分析軟件確定形狀因子和頂點曲率半徑誤差、毛細管直徑誤差、溫度測量不確定度以及壓力測量不確定度，根據不確定度傳遞公式，其表面張力測量的擴展不確定度優于 ±0.1 mN·m?1。